Parameterizations

From ASAM-Wiki

Jump to: navigation, search

Surface parametrization

energy balance

Die für die Berechnung des Wärmeflusses und für das Strahlungsmodell benötigte Oberflächentemperatur der Wand wird mit Hilfe der Flussbilanz an der Wandoberfläche ermittelt. Dazu werden die vom Strahlungsmodell gelieferten Werte für den direkten und diffusen einfallenden Strahlungsfluss als konstant angenommen. In die Flussbilanz gehen die direkte und diffuse Einstrahlung (R_{dir}\, ,R_{diff}\,), der Wärmefluss in die erste Wandzelle (B\,), der fühlbare oder sensible Wärmefluss in die erste Modellzelle (S\,), die Infrarotabstrahlung (I_{out}\,) und theoretisch auch die Infraroteinstrahlung von anderen Wandzellen (I_{in,j}\,) und die reflektierte kurzwellige Strahlung (R_{ref,j}\,) ein. Bei einer Erweiterung des Modells auf Berechnungen mit Feuchte kommt hier noch der latente Wärmefluss durch Verdunstung beziehungsweise Kondensation hinzu. Die Bilanzgleichung ergibt sich für trockene Rechnungen in dieser Form:

R_{dir} + R_{diff} + B + S + I_{out} +  \sum_{j=1}^{nBC} (R_{ref,j} + I_{in,j} ) = 0\,

Der Index j läuft dabei über alle anderen an die Geometrie grenzenden Zellen des Modellgebietes. Die direkte Einstrahlung wird, wenn die Zelle im Schatten liegt, auf Null gesetzt. Ansonsten ergibt sich der Energieeintrag aus dem Skalarprodukt des Normalenvektors der Oberfläche (\mathbf{n}) mit dem Vektor der einfallenden Strahlung (\mathbf{r}) multipliziert mit einem Faktor, der die Albedo der Oberfläche berücksichtigt. Für die diffuse Einstrahlung (r_{diff}\,), die eine skalare Größe ist, wird die Abschattung und der Normalenvektor der Oberfläche nicht berücksichtigt. Da die diffuse Einstrahlung nur vom Himmel erfolgt, ist es sinnvoll sie noch mit dem Viewfaktor für diese Zelle und dem Himmel zu multiplizieren.

R_{dir} = (1-alb) \mathbf{n} \cdot \mathbf{r}_{dir}\,
R_{diff} = (1-alb) V_{sky} r_{diff}\,

Die in Form von Infrarotstrahlung abgegebene Energie wird mit Hilfe des Stefan-Boltzmann-Gesetzes berechnet. Hierbei ist e die Emissivität. Sie gibt das Verhältnis der abgegebenen Strahlung zu der eines schwarzen Strahlers an. Das negative Vorzeichen zeigt, dass es sich hierbei um Abstrahlung handelt. Die einfallende Infrarotstrahlung ist die gesamte von einer anderen Wandzelle emittierte Strahlung, gewichtet mit dem entsprechendem Viewfaktor (V_{ij}\,).

I_{out} = - e \sigma T^4\,
I_{inj} = V_{ij} I_{outj}\,

Analog dazu ergibt sich für die einfallende, von anderen Zellen reflektierte, kurzwellige Strahlung eine Funktion der Albedo und dem Viewfaktor zwischen diesen beiden Zellen.

R_{ref,j} = (1-alb) \mathbf{n}_j \cdot \mathbf{r}_{dir} \,


heat flux

Der Wärmefluss in die Wand beruht auf Wärmeleitung und kann daher über einen Wärmeleitkoeffizienten und den Temperaturgradienten zwischen der Oberfläche und der ersten Wandschicht bestimmt werden.

B = - \lambda \frac{\partial T}{\partial z} \approx \frac {(T_b-T_s)}{0.5m}\,

Der sensible Wärmefluss in die Luft der ersten Modellzelle hingegen beruht nur auf Wärmeaustausch durch Diffusion. Der Wärmeübergang durch Strahlung spielt bei trockener Luft kaum eine Rolle, da diese im Infrarotbereich sehr schlechte Absorptionseigenschaften hat. Die Wärmeleitung innerhalb der Luft ist auf Grund des hohen Wärmeleitwiderstandes der Luft kaum vorhanden, so dass durch die Diffusion nur die der Wand nahe gelegenen Luftschichten erwärmt oder gekühlt werden. Erst durch Konvektion innerhalb der Zelle und Turbulenz kommt es zu einem relevanten Wärmeübergang von der Wand in die Luft oder umgekehrt. Somit wird der sensible Wärmefluss aus einem Übergangskoeffizienten und der Differenz der Temperaturen der Oberfläche und der Luft bestimmt. Dieser Übergangskoeffizient hängt in erster Linie vom konvektiven Transport und damit der Turbulenz in der Zelle ab. Aus dem Turbulenzmodell kann man über die turbulente Wirbelviskosität und der turbulenten Prandtlzahl einen Diffussionskoeffizienten für den konvektiven Wärmetransport in der Atmosphäre berechnen, allerdings bilden sich in Wandnähe Turbulenzen, die vom Modell nicht aufgelöst werden können, die aber wesentlich zum Wärmeaustausch beitragen. Deshalb ist die Verwendung einer Wandfunktion sinnvoll. Nach [Louka, 2002] und [Sini, 1996] ergibt sich dafür folgende empirische Funktion:

S = \rho C_p \frac {{u_*}^2}{u} \frac {T_F-T_W}{Pr_t(1+ \frac {P}{s})}\,

mit dem Jayatilleke-Parameter P:

P = 9.24 \left[ \left( \frac {Pr}{Pr_t} \right) ^{3/4}-1 \right] \left[ 1+0.28exp \left( -0.007 \left( \frac {Pr}{Pr_t} \right) ^{3/4} \right) \right]\,
s = \frac {1}{k}ln \left( \frac {z}{z_0} \right)

k\, ist hierbei die Karman-Konstante, z\, der Wandabstand, T_F\, die Temperatur in der ersten Modellzelle, T_W\, die Temperatur der Wand und z_0\, die Rauigkeitslänge.


momentum flux

Um den Wärmeaustausch zwischen der Wand und der ersten Zelle zu charakterisieren, muss man somit die Grenzschicht betrachten. Die Grenzschicht ist in diesem Fall der Übergangsbereich zwischen Wand und Luft und ihre Dicke hängt von der Rauigkeit der Wand und der Geschwindigkeit parallel zur Wand ab. Das Verhalten innerhalb der Grenzschicht wird durch die von der Wand verursachte Reibung auf das Fluid und die inneren Reibungskräfte, also die Viskosität, bestimmt. Diese Reibung führt dazu, dass sich in Abhängigkeit von der Entfernung ein Geschwindigkeitsprofil einstellt, welches durch das universelle, logarithmische Wandgesetz beschrieben wird [Winkler, 1995].

\frac{u}{u_*} = \frac {1}{k}ln \left(\frac {u_*z}{\nu}E \right)= \frac {1}{k} \left[ ln \left( \frac {z}{h_r} \right) + ln E + ln \left( \frac {u_*h_r}{\nu} \right) \right]\,

Dabei ist u_* \, die Schubspannungsgeschwindigkeit, \nu\, die kinematische Viskosität, E\, ein rauigkeitsabhängiger Parameter und h_r\, die geometrische Rauigkeit. \frac {u_*h_r}{\nu}\, ist auch unter dem Namen Rauigkeitsreynoldszahl Re_h\, bekannt. Wenn Re_h < 5\, ist, wird die Wand als hydraulisch glatte Wand bezeichnet und dann ist der Parameter E \approx 9\,. Für raue Wände mit Re_h > 70\, verschwindet die Abhängigkeit von der Rauigkeitsreynoldszahl und für die letzten beiden Terme gilt die Näherung:

lnE + ln \left( \frac {u_*h_r}{\nu} \right) \approx 20\,

Durch Einführen der aerodynamischen Rauigkeit z_0 \approx \frac {h_r}{20} \,, auch als Rauigkeitslänge bezeichnet, kommt man auf die in atmosphärischen Strömungsmodellen meist verwendete Form.

\frac{u}{u_*} = ln \left( \frac {z}{z_0} \right)\,

Dieses logarithmische Wandgesetz gilt jedoch nur außerhalb der geometrischen Rauigkeit, also für z > h_r\, . Die noch fehlende Schubspannungsgeschwindigkeit kann nun aus der Geschwindigkeit in der Zelle und dem Abstand z\, zur Wand berechnet werden.

u_* = \frac {u}{\frac {1}{k} ln(\frac {z}{z_0})}\,

Bei absolut ruhiger Atmosphäre kann mit dieser Methode kein Wärmeaustausch zwischen Wand und Luft stattfinden, was auch in der Realität zu beobachten ist, so können beispielsweise metallische Flächen im Winter sehr stark auskühlen und tiefere Temperaturen erreichen als die Umgebungsluft. Wenn jedoch der Boden oder die Wände von der Sonne geheizt werden, entstehen in der Realität thermisch induzierte Turbulenzen, die im Modell nicht berücksichtigt werden, da eine instabile Schichtung bei der verwendeten Turbulenzmodellierung mit Richardsonzahl die Produktion von Turbulenz nur verstärkt, aber nicht induziert. Daher ist für solche Rechnungen die Vorgabe eines minimalen Austauschkoeffizienten sinnvoll.

Personal tools